振り子の運動を用いた常微分方程式解法のベンチマーク

振り子の角度 \(\theta\) に関する運動方程式

\[ \ddot{\theta} = -\sin{\theta} \]

に対して常微分方程式のソルバーを適用し，計算時間と誤差を測定した．

ステップ幅の自動調整付きのソルバーに対するベンチマーク結果

以下の公式を用い，ステップ幅の自動調整機能 [11] 付きで実装したソルバーについてベンチマークを行った．

• Runge-Kutta 法

  • 陽的公式

    • RKF45：RKF (Runge-Kutta-Fehlberg) 45 公式 [12]

    • DOPRI5：DOPRI5 公式 [13]

    • ARK4(3)-ERK：ARK4(3)6L[2]SA-ERK 公式 [14]

  • 半陰的公式

    • Tanaka1：田中 Formula1 公式 [15]

    • Tanaka2：田中 Formula2 公式 [15]

    • SDIRK4：4 次の SDIRK (Singly Diagonally Implicit Runge-Kutta) 法 [13]

    • ARK4(3)-ESDIRK：ARK4(3)6L[2]SA-ESDIRK 公式 [14]

    • ARK5(4)-ESDIRK：ARK5(4)6L[2]SA-ESDIRK 公式 [14]

    • ESDIRK45c：ESDIRK45c 公式 [16]

  • 陰的公式

    • LobattoIIIC4：Lobatto IIIC 4 次の公式 [13]

    • LobattoIIIC6：Lobatto IIIC 6 次の公式 [13]

    • RadauIIA3：Radau IIA 3 次の公式 [13]

    • RadauIIA5：Radau IIA 5 次の公式 [13]

• Rosenbrock 法

  • ROS3w 公式：ROS3w 公式 [17]

  • ROS34PRw 公式：ROS34PRw 公式 [18]

  • ROS34PW3 公式：ROS34PW3 公式 [17]

  • RODASP 公式：RODASP 公式 [19]

  • RODASPR 公式：RODASPR 公式 [18]

• 平均ベクトル場法 [20]

  • AVF2：2 次の解法

  • AVF3：3 次の解法

  • AVF4：4 次の解法

時刻 \(t=0\) における初期値をもとに時刻 \(t=10\) における解を求める時間と精度を測定した．

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from num_anal_plots.show_plot_in_jupyter import show_plot_in_jupyter

show_plot_in_jupyter("ode-pendulum-movement-auto-step-all-work-error", version=2)

ステップ幅固定のソルバーに対するベンチマーク結果

以下の公式を用い，固定のステップ幅による数値解法を実装したソルバーについてベンチマークを行った．

• Runge-Kutta 法

  • 陽的公式

    • RK4：古典的な 4 次の Runge-Kutta 法 [12]

  • 陰的公式

    • LobattoIIIC4：Lobatto IIIC 4 次の公式 [13]

    • LobattoIIIC6：Lobatto IIIC 6 次の公式 [13]

    • RadauIIA3：Radau IIA 3 次の公式 [13]

    • RadauIIA5：Radau IIA 5 次の公式 [13]

• シンプレクティック積分法

  • 陽的公式

    • LeapFrog：Leap-frog 法 [21]

    • Forest4：[21] における 4 次の公式

• AVF (Average Vector Field) 法 [20]

  • AVF2：2 次の解法

  • AVF3：3 次の解法

  • AVF4：4 次の解法

時刻 \(t=0\) における初期値をもとに時刻 \(t=100\) における解を求める時間と精度を測定した．

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from num_anal_plots.show_plot_in_jupyter import show_plot_in_jupyter

show_plot_in_jupyter("ode-pendulum-movement-fixed-step-work-error", version=1)

環境

• CPU: Intel(R) Core(TM) i7-9750H CPU @ 2.60GHz

• コンパイラ：Clang 21.1.8

ソースコード

numerical-collection-cpp リポジトリ [1] のコミット aada5a2ffd442f3ce90121ac78fac102a17b602d 時点のものを使用した．