振り子の運動を用いた常微分方程式解法のベンチマーク

振り子の運動を用いた常微分方程式解法のベンチマーク#

振り子の角度 \(\theta\) に関する運動方程式

\[ \ddot{\theta} = -\sin{\theta} \]

に対して常微分方程式のソルバーを適用し，計算時間と誤差を測定した．

ステップ幅の自動調整付きのソルバーに対するベンチマーク結果#

以下の公式を用い，ステップ幅の自動調整機能 [5] 付きで実装したソルバーについてベンチマークを行った．

  • Runge-Kutta 法

    • 陽的公式

      • RKF45：RKF (Runge-Kutta-Fehlberg) 45 公式 [6]

      • DOPRI5：DOPRI5 公式 [7]

      • ARK4(3)-ERK：ARK4(3)6L[2]SA-ERK 公式 [8]

    • 半陰的公式

      • Tanaka1：田中 Formula1 公式 [9]

      • Tanaka2：田中 Formula2 公式 [9]

      • SDIRK4：4 次の SDIRK (Singly Diagonally Implicit Runge-Kutta) 法 [7]

      • ARK4(3)-ESDIRK：ARK4(3)6L[2]SA-ESDIRK 公式 [8]

      • ARK5(4)-ESDIRK：ARK5(4)6L[2]SA-ESDIRK 公式 [8]

      • ESDIRK45c：ESDIRK45c 公式 [10]

  • Rosenbrock 法

    • ROS3w 公式：ROS3w 公式 [11]

    • ROS34PW3 公式：ROS3w 公式 [11]

    • RODASP 公式：RODASP 公式 [12]

    • RODASPR 公式：RODASPR 公式 [13]

  • 平均ベクトル場法 [14]

    • AVF2：2 次の解法

    • AVF3：3 次の解法

    • AVF4：4 次の解法

時刻 \(t=0\) における初期値をもとに時刻 \(t=10\) における解を求める時間と精度を測定した．

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from num_anal_plots.show_plot_in_jupyter import show_plot_in_jupyter

show_plot_in_jupyter("ode-pendulum-movement-auto-step-all-work-error", version=1)

ステップ幅固定のソルバーに対するベンチマーク結果#

以下の公式を用い，固定のステップ幅による数値解法を実装したソルバーについてベンチマークを行った．

  • Runge-Kutta 法

    • 陽的公式

      • RK4：古典的な 4 次の Runge-Kutta 法 [6]

  • シンプレクティック積分法

    • 陽的公式

      • LeapFrog：Leap-frog 法 [15]

      • Forest4：[15] における 4 次の公式

  • AVF (Average Vector Field) 法 [14]

    • AVF2：2 次の解法

    • AVF3：3 次の解法

    • AVF4：4 次の解法

時刻 \(t=0\) における初期値をもとに時刻 \(t=100\) における解を求める時間と精度を測定した．

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from num_anal_plots.show_plot_in_jupyter import show_plot_in_jupyter

show_plot_in_jupyter("ode-pendulum-movement-fixed-step-work-error", version=1)

環境#

  • CPU: Intel(R) Core(TM) i7-9750H CPU @ 2.60GHz

  • コンパイラ：Clang 17.0.2

ソースコード#

numerical-collection-cpp リポジトリ [1] のコミット f4488124c9121787879ed70a0975523e4b545586 時点のものを使用した．